Fluxo de Caixa, Valor Presente e Valor Futuro

FLUXO DE CAIXA

O fluxo de caixa serve para demonstrar graficamente as transações financeiras em um período de tempo. O tempo é representado na horizontal dividido pelo número de períodos relevantes para análise. As entradas ou recebimentos são representados por setas verticais apontadas para cima e as saídas ou pagamentos são representados por setas verticais apontadas para baixo. Observe o gráfico abaixo:

Chamamos de VP o valor presente, que significa o valor que eu tenho na data 0; VF é o valor futuro, que será igual ao valor que terei no final do fluxo, após juros, entradas e saídas.

VALOR PRESENTE e VALOR FUTURO

Na fórmula M = P . (1 + i)ⁿ , o principal P é também conhecido como Valor Presente (PV = present value) e o montante M é também conhecido como Valor Futuro (FV = future value).

Então essa fórmula pode ser escrita como

FV = PV (1 + i) ⁿ

Isolando PV na fórmula temos:

PV = FV / (1+i)ⁿ

Na HP-12C, o valor presente é representado pela tecla PV.

Com esta mesma fórmula podemos calcular o valor futuro a partir do valor presente.

Exemplo:

Quanto teremos daqui a 12 meses se aplicarmos R$1.500,00 a 2% ao mês?
Solução:

FV = 1500 . (1 + 0,02)¹² = R$ 1.902,36

Taxas Equivalentes, Nominais e Efetivas

Taxas Equivalentes

Duas taxas i₁ e i₂ são equivalentes, se aplicadas ao mesmo Capital P durante o mesmo período de tempo, através de diferentes sistemas de capitalização, produzem o mesmo montante final.

• Seja o capital P aplicado por um ano a uma taxa anual i_a .
• O montante M ao final do período de 1 ano será igual a M = P(1 + i _a )
• Consideremos agora, o mesmo capital P aplicado por 12 meses a uma taxa mensal i_m .
• O montante M’ ao final do período de 12 meses será igual a M’ = P(1 + i_m)¹² .

Pela definição de taxas equivalentes vista acima, deveremos ter M = M’.

Portanto, P(1 + i_a) = P(1 + i_m)¹²
Daí concluímos que 1 + i_a = (1 + i_m)¹²
Com esta fórmula podemos calcular a taxa anual equivalente a uma taxa mensal conhecida.

Exemplos:

1 - Qual a taxa anual equivalente a 8% ao semestre?

Em um ano temos dois semestres, então teremos: 1 + i_a = (1 + i_s)²
1 + i_a = 1,08²
i_a = 0,1664 = 16,64% a.a.

2 - Qual a taxa anual equivalente a 0,5% ao mês?

1 + i_a = (1 + i_m)¹²
1 + i_a = (1,005)¹²
i_a = 0,0617 = 6,17% a.a.

Taxas Nominais

A taxa nominal é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital não coincide com aquele a que a taxa está referida.

Alguns exemplos:

- 340% ao semestre com capitalização mensal.
- 1150% ao ano com capitalização mensal.
- 300% ao ano com capitalização trimestral.

Taxas Efetivas

A taxa Efetiva é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital coincide com aquele a que a taxa está referida.

Alguns exemplos:

- 140% ao mês com capitalização mensal.
- 250% ao semestre com capitalização semestral.
- 1250% ao ano com capitalização anual.

Taxa Real: é a taxa efetiva corrigida pela taxa inflacionária do período da operação.

Programação - HP 12C

ACHAR TAXAS DE JUROS EQUIVALENTES

O intuito deste programa é o de achar a taxa equivalente, onde devemos fornecer a taxa de juros que se quer achar a equivalente. Digite o programa abaixo em sua HP:

Vamos agora testar nosso programa:

• Se tivermos uma taxa de 2% a.m. e queremos achar esta taxa ao ano:

2 [ENTER] 12 [P/R]

Teremos 26,82418% a.a. sobre uma taxa de 2% a.m.

• Se tivermos uma taxa de 60,10322% a.a. e queremos acha-la ao mês:

60,10322 [ENTER] 12 [1/x] [P/R]

Teremos 4,000% a.m. Usamos a tecla [1/x] para um período menor ao estipulado.

Calculos Financeiros - HP 12C

Juros simples

A fórmula de juros simples é descrita como:
J=PV*I*N
onde:
J= valor dos juros
PV= valor presente
I= taxa de juros (%)

N= periodo da aplicação
Para o calculo de juros simples não é necessária a utilização de nenhuma função da HP12C já que podemos facilmente isolar a variável desejada e efetuar calculos, basta apenas lembrar que se a taxa de juros (I) for mensal deve-se usar um periodo mensal. deve-se também lembrar que a taxa de juros é expressa na forma I/100 na fórmula.

Juros compostos

A fórmula de juros compostos é descrita como:
FV=PV*(1+I)^N
onde:
FV= valor futuro
PV= valor presente
I= taxa de juros (%)
N= periodo da aplicação

Para efetuar calculos deve-se apenas digitar os valores e clicar na respectiva tecla e depois clicar na tecla que se deseja resolver.

Note que em I você deve colocar o valor interio do juros e não I/100 e que este é o valor do juros no período especificado em P/YR. Caso você tenha um valor de taxa de juros de 5% ao mês (5%a.m.) você deve entrar em I o valor 5.

Deve-se considerar também quando são feitos o pagamento dos juros (no início ou no final de cada período), existindo para esta função um campo onde você escolhe entre End (pagamento no final) - [g][END] ou Beg (pagamento no começo) - [g] [BEG]. Esta função faz uma grande diferença no resultado de seus calculos.

No caso de depósitos ou retiradas no investimento [PMT] deve-se considerar o fluxo de caixa, ou seja, considerar os depósitos como valores negativos (como você esta retirando de seu bolso para aplicar) e os resgates valores positivos (porque você esta retirando seu dinheiro da aplicação e colocando em seu bolso).

Este é o motivo dos valores de PV e FV serem sempre contrários.

Exemplo:
Você tem R$5.000,00 e quer aplicar na poupança com um rendimento de 1,2%a.m. durante um ano fazendo retiradas de R$250,00 no final de cada mês. Quanto dinheiro você resgatará no final deste ano?

Considere o seguinte fluxo de caixa:

Resgates (R$250,00 por mês) resgate final (?)

depósito inicial (R$5.000,00)

Você deve então digitar na sua HP:
[f] S para limpar os registradores financeiros
12 [n] (numero de meses da aplicação)
1,2 [i] (valor da taxa de juros por período)
-5000 [PV] (negativo de acordo com o fluxo de caixa)
250 [PMT] (positivo de acordo com o fluxo de caixa)
A HP deve estar no modo End já que os pagamentos de taxa em um banco são feitos no final de cada mês
Clique em [FV], você obterá:
2.563,34
ou seja, após um ano de aplicação retirando R$250,00 por mês você terá R$2.563,34.

Juros Compostos

JUROS COMPOSTOS

O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e portanto, o mais útil para cálculos de problemas do dia-a-dia. Os juros gerados a cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte.

Chamamos de capitalização o momento em que os juros são incorporados ao principal. Após três meses de capitalização, temos:

1º mês: M =P.(1 + i)
2º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i)
3º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i)

Simplificando, obtemos a fórmula:

M = P . (1 + i)n

Importante: a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n, ou seja, taxa de juros ao mês para n meses.

Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do período:

J = M - P

Exemplo:

Calcule o montante de um capital de R$6.000,00, aplicado a juros compostos, durante 1 ano, à taxa de 3,5% ao mês.
(use log 1,035=0,0149 e log 1,509=0,1788)

Resolução:

P = R$6.000,00
t = 1 ano = 12 meses
i = 3,5 % a.m. = 0,035
M = ?

Usando a fórmula M=P.(1+i)ⁿ, obtemos:

M = 6000.(1+0,035)12 = 6000. (1,035)12
Fazendo x = 1,035¹² e aplicando logaritmos, encontramos:

log x = log 1,035¹² => log x = 12 log 1,035 => log x = 0,1788 => x = 1,509

Então M = 6000.1,509 = 9054.
Portanto o montante é R$9.054,00

Juros Simples

JUROS SIMPLES

O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor principal. Sobre os juros gerados a cada período não incidirão novos juros. Valor Principal ou simplesmente principal é o valor inicial emprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros. Transformando em fórmula temos:

J = P . i . n

Onde:

J = juros P = principal (capital) i = taxa de juros n = número de períodos

Exemplo: Temos uma dívida de R$ 1000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de juros simples e devemos pagá-la em 2 meses. Os juros que pagarei serão:

J = 1000 x 0.08 x 2 = 160

Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante.

Montante = Principal + Juros
Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Número de períodos )

M = P . ( 1 + ( i . n ) )

Exemplo: Calcule o montante resultante da aplicação de R$70.000,00 à taxa de 10,5% a.a. durante 145 dias.

SOLUÇÃO:
M = P . ( 1 + (i.n) )
M = 70000 [1 + (10,5/100).(145/360)] = R$72.960,42

Observe que expressamos a taxa i e o período n, na mesma unidade de tempo, ou seja, anos. Daí ter dividido 145 dias por 360, para obter o valor equivalente em anos, já que um ano comercial possui 360 dias.

Exemplos sobre juros simples:

1) Calcular os juros simples de R$ 1200,00 a 13 % a.t. por 4 meses e 15 dias.

0.13 / 6 = 0.02167
logo, 4m15d = 0.02167 x 9 = 0.195

j = 1200 x 0.195 = 234

2 - Calcular os juros simples produzidos por R$40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a., durante 125 dias.

Temos: J = P.i.n
A taxa de 36% a.a. equivale a 0,36/360 dias = 0,001 a.d.
Agora, como a taxa e o período estão referidos à mesma unidade de tempo, ou seja, dias, poderemos calcular diretamente:
J = 40000.0,001.125 = R$5000,00

3 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende R$3.500,00 de juros em 75 dias?

Temos imediatamente: J = P.i.n ou seja: 3500 = P.(1,2/100).(75/30)
Observe que expressamos a taxa i e o período n em relação à mesma unidade de tempo, ou seja, meses. Logo,
3500 = P. 0,012 . 2,5 = P . 0,030; Daí, vem:
P = 3500 / 0,030 = R$116.666,67

4 - Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão necessários para dobrar um capital aplicado através de capitalização simples?

Objetivo: M = 2.P
Dados: i = 150/100 = 1,5
Fórmula: M = P (1 + i.n)
Desenvolvimento:

2P = P (1 + 1,5 n) 2 = 1 + 1,5 n n = 2/3 ano = 8 meses

Conceitos da Matemática Financeira

Capital ou Valor Presente (VP)

Capital ou Valor Presente (VP) é o Capital Inicial (Principal) em uma transação financeira referenciado, geralmente, na escala horizontal do tempo, na data inicial (n=0).

É,ainda, o valor à vista quando nos referimos, nos termos comerciais, àquele valor “com desconto” dado como opção às compras a prazo.

É considerado também como o investimento inicial feito em um projeto de investimento.

Juros (J)

Os juros (J) representam a remuneração pela utilização de capitais de terceiros ou por prazos concedidos. Podem ser, também, a remuneração por capital aplicado nas instituições financeiras. São considerados rendimento se você os recebe e são considerados despesa se você os paga.

Taxa de Juros (i)

Taxa de juros (i) é o valor do juro em determinado tempo, expresso como
porcentagem do capital inicial. Pode ser expresso da forma unitária ou percentual (0,15 ou 15%, respectivamente).

Veja: Se um banco me paga R$ 400,00 de juros sobre um capital de R$ 4.000,00 aplicado durante um ano, a taxa de juros nada mais é do que: 0,1 ou 10%.

Prazo ou Períodos (n)

As transações financeiras são feitas tendo-se como referência uma unidade de tempo (como um dia, um mês, um semestre etc.) e a taxa de juros cobrada nesse
determinado tempo.

O período de uma transação é o tempo de aplicação de cada modalidade financeira. Pode ser unitário ou fracionário. Por exemplo, uma aplicação em CDB de 33 dias. O prazo dessa aplicação é unitário se o banco utilizar uma taxa específica para 33 dias.

Isso quer dizer que n=1 (1 período), pois 33 dias foi o período considerado para a taxa de juros como sendo uma unidade de tempo. O banco pode, ainda, considerar para essa aplicação uma taxa que corresponda a um período de um ano, por exemplo.

Já nessa situação, o prazo da aplicação (n) será de 33/360, o que significa a proporção de tempo em relação a um ano, que foi considerado como unidade de tempo (tendo em vista que a taxa de juros é anual). Daí temos um período fracionário, pois n=33/360.

Então, o prazo ou período considerado só pode ser definido se levarmos em consideração a taxa de juros, que pode ser definida para qualquer período.

Capital ou Valor Presente (VP)

Capital ou Valor Presente (VP) é o Capital Inicial (Principal) em uma transação financeira, referenciado, geralmente, na escala hoizontal do tempo, na data inicial (n=0). É, ainda, o valor à vista quando nos referimos, nos termos comerciais, àquele valor “com desconto” dado como opção às compras a prazo.É considerado também como o investimento inicial feito em um projeto de investimento.

Montante ou Valor Futuro (VF)

É o valor obtido no final da transação, somando-se ao capital inicial os juros incorridos no período de aplicação.